Soal Lingkaran dan pembahasan (SMU)

Batas batas nilai k agar titik (2,k) terletak di luar lingkaran x²+y²+6x+4y-93=0 adalah

k > 7 atau k < -11

PEMBAHASAN

Marilah kita mengenal beberapa rumus penting tentang lingkaran ini terlebih dahulu.

Persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (a,b) dan berjari-jari R adalah:

(x-a)² + (y-b)² = R²

Kedudukan titik (x₁,y₁) terhadap lingkaran bisa di rangkum sebagai berikut ini :

Titik terletak di dalam lingkaran : (x₁-a)² + (y₁-b)² < R²

Titik terletak di lingkaran : (x₁-a)² + (y₁-b)² = R²

Titik terletak di luar lingkaran : (x₁-a)² + (y₁-b)² > R²

Mari kita gunakan konsep ini untuk menyelesaikan soalnya.

Titik (2,k) terletak di luar lingkaran x²+y²+6x+4y-93=0 maka :

2²+k²+6(2)+4(k)-93>0

k² + 4k - 77 > 0

(k-7)(k+11) > 0

k > 7 atau k < –11

Tunjukkan bahwa garis 3x-2y=6 menyinggung lingkaran x^2+y^2+2x-4y-8=0! Tentukan koordinat titik singgungnya!

Suatu garis dikatakan menyinggung lingkaran jika hanya memiliki 1 titik potong

3x-2y=6

2y=3x-6

y=(3x-6)/2

y=(³/₂x - 3)

substitusi ke persamaan lingkaran

x²+y²+2x-4y-8=0

x²+(³/₂x - 3)²+2x-4(³/₂x - 3)-8=0

x²+(⁹/₄x² - 9x+9)+2x-(6x - 12)-8=0

x² + ⁹/₄x² - 9x + 9 + 2x - 6x + 12 - 8 = 0

4x² + 9x² - 36x + 36 + 8x - 24x + 48 - 32 = 0

13x² - 52x + 52 = 0

x² - 4x + 4 = 0

(x-2)²=0

x=2

hanya satu nilai x yang memenuhi yaitu 2 (terbukti)

Koordinat titik singgung

substitusi nilai x=2 ke persamaan (pilih yang mana aja, persaan garis atau persamaan lingkaran)

Misal akan disubstitusi ke persamaan garia 3x-2y=6

3.2-2y=6

6-2y=6

2y=0

y=0

jadi titik singgungnya adalah (2,0)

3. Diketahui garis g = x + y -8 = 0 dan lingkaran L = x^2 +y^2 -8x -2y +12 = 0
a. tunjukan bahwa garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan
b. carilah kordinat kedua titik potongnya
c. hitunglah panjang ruas garis potong yang terletak didalam lingkaran

x + y - 8 = 0

y = 8 - x ... subtitusi ke pers lingkaran

x² + y² - 8x - 2y + 12 = 0

x² + (8 - x)² - 8x - 2(8 - x) + 12 = 0

x² + 64 - 16x + x² - 8x - 16 + 2x + 12 = 0

2x² - 22x + 60 = 0 ... bagi dengan 2

x² - 11x + 30 = 0 ⇒ a = 1 ; b = - 11 ; c = 30

syarat memotong di 2 titik bberbeda D > 0

D = b² - 4.a.c

= (-11)² - 4 . 1 .30

= 121 - 120

= 1 ..... karena nilai D > 0 maka grs x + y - 8 = 0 akan memotong lingkaran pada 2 titik yang berbeda.

b) titik potong :

x² - 11x + 30 = 0

(x - 5)(x - 6) = 0

x - 5 = 0 atau x - 6 = 0

x = 5 atau x = 6

untuk x = 5 ⇒ y = 8 - x

y = 8 - 5

y = 3 ⇒ titik potong (5 , 3)

untuk x = 6 ⇒ y = 8 - x

y = 8 - 6

y = 2 ⇒ titik potong (6 , 2)

jadi , kedua titik potongnya adalah (5 , 3) dan (6 , 2)

c) panjang ruas garis potong = √{(x1 - x2)² + (y1 - y2)²}

= √{ (5 - 6)² + (3 - 2)²}

= √{ ( - 1)² + 1²}

= √(1 + 1)

= √2 satuan panjang

4. Tentukan posisi garis x-y+1=0 terhadap lingkaran x2+y2=25.jika berpotongan,tentukan titik potongnya!

Jawab

a) Posisi garis terhadap lingkaran

x - y + 1= 0

y= x + 1 substitusi x² + y² = 25

x² + (x + 1)² = 25

x² + x² + 2x + 1 - 25 = 0

2x² + 2x - 24=0

x² + x - 12 = 0

a= 1 , b = 1,c = -12

D= b² - 4ac

D= (1)² -4(1)(-12)

D= 49

krn D >0 , maka x -y + 1 = 0 memotong x² + y² = 125

b) titik potong

x² + x -12 = 0

(x + 4)(x - 3)=0

x = -4 atau x = 3

untuk x = - 4

y= x+ 1

y = - 4 + 1 = - 3

(x,y)= (-4, - 3)

untuk x = 3

y = x + 1

y = 3 + 1 = 4

(x,y) = ( 3, 4)

titik potong (3,4) ,(-4, -3)

5 . garis h sejajar dengan x - 2y = 10 dan membagi lingkaran L: x^2 + y^2 + 4x + 2 = 0 menjadi dua bagian yang sama.
A. Tentukan persamaan garis h.
B. Carilah koordinat titik potong antara garis h dengan lingkaran L.

Garis h sejajar dengan x - 2y = 10

2y = x - 10

y = ½x - 5

m = gradien = ½

membagi lingkaran L: x² + y² + 4x + 2 = 0 menjadi dua bagian yang sama

pusat = (-½A, -½B) = (-2, 0)

jari jari = √((-2)² + 0² - 2) = √2

persamaan garis h

y - b = m(x - a)

y - 0 = ½(x - (-2))

y = ½x + 1

koordinat titik potong antara garis h dengan lingkaran L

x² + y² + 4x + 2 = 0

x² + (½x + 1)² + 4x + 2 = 0

x² + ¼x² + x + 1 + 4x + 2 = 0

5/4 x² + 5x + 3 = 0

5x² + 20x + 12 = 0

x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac))/2a

= (-20 ± √(400 - 240))/10

= (-20 ± √(160))/10

= (-20 ± 4√(10))/10

= (-2 ± (2/5)√(10))

x1 = -2 + (2/5)√(10)

x2 = -2 - (2/5)√(10)

y1 = ½(-2 + (2/5)√(10)) + 1

= -1 + (1/5)√(10) + 1 = (1/5)√(10)

y2 = ½(-2 - (2/5)√(10)) + 1

= -1 - (1/5)√(10) + 1 = -(1/5)√(10)

titik potong terdapat pada

( -2 + (2/5)√(10), (1/5)√(10))

dan

( -2 - (2/5)√(10), -(1/5)√(10))

6. Diketahui garis g = x + y -8 = 0 dan lingkaran L = x^2 +y^2 -8x -2y +12 = 0
a. tunjukan bahwa garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan
b. carilah kordinat kedua titik potongnya
c. hitunglah panjang ruas garis potong yang terletak didalam lingkaran